Robert Kostro ist Historiker, Publizist und Journalist. In den 80er Jahren war er mit der oppositionellen Gruppe „Bewegung des jungen Polens“ (poln. „Ruch Młodej Polski“) verbunden. 1988 war er Mitgestalter der konservativen Gruppierung „Akademische Liga“ (poln. „Liga Akademicka“). In den Jahren 1991-1994 arbeitete er als Journalist für die „Polenpolitik“ („Polityka Polska“) und für ein paar andere Periodika.
1997 wurde Robert Kostro zum Leiter der Abteilung für Internationale Angelegenheiten in der Kanzlei des Premierministers ernannt. Nach der Übernahme der Funktion des Ministers für Kultur und Nationalerbe durch Kazimierz Michał Ujazdowski wurde Robert Kostro zum Leiter dessen Kabinetts. 2001 wurde er zum Vizedirektor des Adam-Mickiewicz-Instituts ernannt. Seit 2006 ist er Direktor des Museums der Polnischen Geschichte.
Robert Kostro ist Mitglied des Beratenden Ausschusses des ENES.